Верхний Предел

Математическая сказка для взрослых

У одной ограниченной числовой последовательности было много частичных пределов.

Вроде бы дело нехитрое - по теореме Больцано-Вейерштрасса у всякой последовательности хоть один частичный предел

да найдется. Только последовательности разные бывают. Иная увидит свой единственный предел - и все, только к нему и

сходится, порой даже экспонента не догонит. Иная не спеша, с логарифмической быстротой, идет к соему частичному,

причесывается на ходу, раз - к другому частичному зашла, посидела в -окрестности, чаю попила и пошла дальше. Но эта

была сущее безобразие! То к одному, то к другому, то быстро, то медленно, то совпадет, то рядом помотается.... Одни,

конечно, прощали: потерлась номеров десять, не совпала ни разу - и Бог с ней: она еще вернется, не будь я частичный

предел! А другие как видели ее, мимо проносящуюся, так и роптали: ну когда же, когда же... Рациональные же частичные

пределы вели себя спокойно: "В N*R есть уйма числовых последовательностей, и сходящиеся ко мне всегда найдутся!".

Так что был от этой последовательности на ее интервале всюду полный бедлам.

А однажды решила эта последовательность больше по частичным пределам не бегать, а подняться как можно выше.

Разумеется, она знала, что была ограниченной сверху неким С, и даже со впадала с ним раз пять, и говорил он ей тода:

"вот, я тебя сверху ограничиваю, и ты не знаешь что там выше. А там - бесконечность". И закрывала она глаза, и жалела о том, что R - не проективная прямая и бесконечность на R не та: стремиться к ней можно, но нельзя совпасть. Однако все-таки побежала последовательность вверх, частичные пределы с визгом проносились назад и только номера мелькали.

Но вот прямая кончилась, и видит последовательность табличку: К+epsilon.

- Кто это посмел?! - сказала она.

- Я, К! - ответил кто-то за спиной

- А ты где?

- Да здесь я! Не дальше !

Последовательность обернулась. Перед ней стоял К и счастливо улыбался.

- Все теперь! Дальше К+epsilon не убежишь!

- Как это не убегу! Ты вообще кто такой?

- Кто я такой? Я - твой верхний предел!

- Да какой ты верхний, посмотри на себя! У меня же членов выше тебя - до черта! Ты меня ограничивал? Я спрашиваю -

ты? Меня? Ограничивал?

Наглость числовой последовательности слегка взволновала К. Он мысленно перебрал в голове курс анализа, вспомнил

свое основное свойство и продолжил.

- Членов-то у тебя и много, да вот незадача - частичных пределов нет. Я последний, самый большой.

- То, что ты супремум, еще не значит, что ты максимум! Ну-ка отпусти меня!

К почуствовал легкий маниакальный синдром и быстро доказал ей то, что у множества частичных пределов есть и

минимум и максимум, и инфинум, и супремум, и еще масса чего есть. Последовательность выслушала, утихла и подняла

глаза. К оказался весьма симпатичным.

- Да, по-моему, я понесла чушь. А ты хороший. Я уже начинаю сходиться к тебе.

- Как же, сойдешься! Нижнему пределу М ты говорила то же самое....

- Так... это не я, это... моя подпоследовательность.

- Ежели бы ты сходилась, так и все твои подпоследовательности сходились бы к тому же! Не ври, паразитка!

Некое (показное) подобие девичьей скромности заставило последовательность проглотить слово "паразитка". Хотя для К

это не прошло даром.

- А вообще, зачем ты, верхний предел, мне нужен? Вот у меня есть знакомая последовательность - уважаемая дама, с

комплексными членами работает, сама ограниченная, а про верхний и нижний пределы и не слыхивала.

- Да-а... Слава Богу, теорема Фробениуса существует: кроме R, C и К вам развернуться негде. Хотя вы даже в Rn живете

припеваючи. Порядка там не хватает...

- Мечтать не вредно! Пожелай еще, чтоб все ограниченные последовательности сходились. Вам, мужикам, только того и

надо, а мы? Мы свободны. Я одну последовательность знаю, так у нее вся прямая была частичные пределы. Она на любое

алгебраическое число натуральный номер вешала!!

- А трансцендентных членов, спорим, не имела...

- Их всех и не переимеешь. Я скажу по секрету: это мечта любой последовательности. И главное, я тут бегаю, все следы

перепутала, поймать меня не могут, а никакой великой константы не нашла. А другая последовательность прыг-скок,

прыг-скок, и по трансцендентным числам как по нулю! А формула-то всего: a n -ное = pi*n . Кстати, а что ты так ко мне

ластишься? Что тут  такой маленький?

- Во-первых, это не я к тебе ластюсь, а ты ко мне частично сходишься. Во-вторых, какоя я  захочу, такой он и будет.

здесь бесконечно мал.

Беседа между К и последовательностью, начавшаяся с такого скандала постепенно превратилась в дружескую перепалку,

став затем философским спором, математической болтовней и приятным бессмысленным разговором на вольную тему.

Он делал epsilon все меньше и меньше, она выполняла свой долг перед другими частичными пределами, возвращалась к нему и

становилась все ближе и ближе. Хотя он никогда не станет ее членом. А ему и не жалко. "В N*R есть уйма числовых

последовательностей, и сходящиеся ко мне всегда найдутся!".

23 января 2001

Нормальная версия: